2018版高考数学大一轮温* 第一章节 集合与常用逻辑用语 第2讲 命题及其关系、充分条件与必要条件讲义 理

发布时间:2021-09-21 03:46:32

第2讲 命题及其关系、充分条 件与必要条件

最新考纲 1.理解命题的概念,了解“若p,则q”形式 的命题及其逆命题、否命题与逆否命题,会分析四种命 题的相互关系;2.理解必要条件、充分条件与充要条件 的含义.

知识梳理
1.命题 用语言、符号或式子表达的,可以_判__断__真__假___的陈述句叫 做命题,其中_判__断__为__真__的语句叫做真命题,_判__断__为__假__的 语句叫做假命题.

2.四种命题及其相互关系 (1)四种命题间的相互关系

若q,则p

若綈p,则綈q

若綈q,则綈p

(2)四种命题的真假关系 ①两个命题互为逆否命题,它们具有_相__同_____的真假性. ②两个命题为互逆命题或互否命题时,它们的真假性 __没__有__关__系___.

3.充分条件、必要条件与充要条件的概念

若p?q,则p是q的_充__分__条件,q是p的_必__要__条件

p是q的充__分__不__必__要__条件

p?q且q p

p是q的_必__要__不__充__分__条件

p q且q?p

p是q的__充__要__条件 p是q的_既__不__充__分__也__不__必__要__条件

p?q p q且q p

诊断自测 1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) 精彩PPT展示
(1)“x2+2x-3<0”是命题.( ) (2)命题“若p,则q”的否命题是“若p,则綈q”.( ) (3)当q是p的必要条件时,p是q的充分条件.( ) (4)“若p不成立,则q不成立”等价于“若q成立,则p成 立”.( ) 解析 (1)错误.该语句不能判断真假,故该说法是错误的. (2)错误.否命题既否定条件,又否定结论. 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√

2.(教材练*改编)命题“若 α=π4 ,则 tan α=1”的逆否命题是

()

A.若 α≠π4 ,则 tan α≠1

B.若 α=π4 ,则 tan α≠1

C.若 tan α≠1,则 α≠π4

D.若 tan α≠1,则 α=π4

解析 命题“若 p,则 q”的逆否命题是“若綈 q,则綈 p”,显

然綈 q:tan

α≠1,綈

π p:α≠ 4 ,所以该命题的逆否命题是“若

tan

α≠1,则

π α≠ 4 ”.

答案 C

3.(2016·天津卷)设x>0,y∈R,则“x>y”是“x>|y|”的( )

A.充要条件

B.充分不必要条件

C.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件

解析 x>y x>|y|(如x=1,y=-2). 但x>|y|时,能有x>y.

∴“x>y”是“x>|y|”的必要不充分条件.

答案 C

4.命题“若a>-3,则a>-6”以及它的逆命题、否命题、逆否

命题中假命题的个数为( )

A.1

B.2

C.3

D.4

解析 原命题正确,从而其逆否命题也正确;其逆命题为“若

a>-6,则a>-3”是假命题,从而其否命题也是假命题.因此

四个命题中有2个假命题.

答案 B

5.(2017·大 连 双 基 检 测 ) 已 知 函 数 f(x) 的 定 义 域 为 R , 则 命 题 p :

“函数f(x)为偶函数”是命题q:“?x0∈R,f(x0)=f(-x0)”的 ()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C解.充析要条若件f(x)为偶函数,则有 fD(x.)既=不f(-充x分),也所不以必p要?条q;件

若 f(x)=x,当 x=0 时,f(0)=f(-0),而 f(x)=x 为奇函数,

所以 q p.∴“命题 p”是“命题 q”的充分不必要条件.

答案 A

考点一 四种命题的关系及其真假判断

【例1】 (1)命题“若x2-3x-4=0,则x=4”的逆否命题及其真假

性为( )

A.“若x=4,则x2-3x-4=0”为真命题

B.“若x≠4,则x2-3x-4≠0”为真命题

C.“若x≠4,则x2-3x-4≠0”为假命题

D.“若x=4,则x2-3x-4=0”为假命题

(2)原命题为“若z1,z2互为共轭复数,则|z1|=|z2|”,关于其逆命 题、否命题、逆否命题真假性的判断依次如下,正确的是( )

A.真、假、真

B.假、假、真

C.真、真、假

D.假、假、假

解析 (1)根据逆否命题的定义可以排除A,D;由x2-3x-4 =0,得x=4或-1,所以原命题为假命题,所以其逆否命题 也是假命题. (2)由共轭复数的性质,|z1|=|z2|,∴原命题为真,因此其逆否 命题为真;取z1=1,z2=i,满足|z1|=|z2|,但是z1,z2不互为 共轭复数,∴其逆命题为假,故其否命题也为假. 答案 (1)C (2)B

规律方法 (1)由原命题写出其他三种命题,关键要分清原 命题的条件和结论,如果命题不是“若p,则q”的形式, 应先改写成“若p,则q”的形式;如果命题有大前提,写 其他三种命题时需保留大前提不变. (2)判断一个命题为真命题,要给出推理证明;判断一个命 题为假命题,只需举出反例. (3)根据“原命题与逆否命题同真同假,逆命题与否命题同 真同假”这一性质,当一个命题直接判断不易进行时,可 转化为判断其等价命题的真假.

【训练 1】 已知:命题“若函数 f(x)=ex-mx 在(0,+∞)上是增 函数,则 m≤1”,则下列结论正确的是( ) A.否命题是“若函数 f(x)=ex-mx 在(0,+∞)上是减函数,则 m >1”,是真命题 B.逆命题是“若 m≤1,则函数 f(x)=ex-mx 在(0,+∞)上是增 函数”,是假命题 C.逆否命题是“若 m>1,则函数 f(x)=ex-mx 在(0,+∞)上是 减函数”,是真命题 D.逆否命题是“若 m>1,则函数 f(x)=ex-mx 在(0,+∞)上不 是增函数”,是真命题

解析 由f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是增函数,则f′(x)=ex -m≥0恒成立, ∴m≤1. 因此原命题是真命题,所以其逆否命题“若m>1,则函 数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上不是增函数”是真命题. 答案 D

考点二 充分条件与必要条件的判定

【例2】 (1)函数f(x)在x=x0处导数存在.若p:f′(x0)=0;q:x=x0 是f(x)的极值点,则( )

A.p是q的充分必要条件

B.p是q的充分条件,但不是q的必要条件

C.p是q的必要条件,但不是q的充分条件

D.p既不是q的充分要件,也不是q的必要条件

(2)(2017·衡阳一模)“a=1”是“直线ax+y+1=0与直线(a+

2)x-3y-2=0垂直”的( )

A.充要条件

B.充分不必要条件

C.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件

解析 (1)由极值的定义,q?p,但 p q.例如 f(x)=x3,在 x=0 处 f′(0) =0,f(x)=x3 是增函数,x=0 不是函数 f(x)=x3 的极值点. 因此 p 是 q 的必要不充分条件. (2)直线 ax+y+1=0 与直线(a+2)x-3y-2=0 垂直的充要条件为 a(a+2)+1×(-3)=0,解得 a=1 或-3,故“a=1”是“直线 ax +y+1=0 与直线(a+2)x-3y-2=0 垂直”的充分不必要条件.
答案 (1)C (2)B

规律方法 充要条件的三种判断方法 (1)定义法:根据p?q,q?p进行判断. (2)集合法:根据使p,q成立的对象的集合之间的包含关系 进行判断. (3)等价转化法:根据一个命题与其逆否命题的等价性,把 判断的命题转化为其逆否命题进行判断.这个方法特别适合 以否定形式给出的问题,如“xy≠1”是“x≠1或y≠1”的 何种条件,即可转化为判断“x=1且y=1”是“xy=1”的 何种条件.

【训练2】 (2016·山东卷)已知直线a,b分别在两个不同的*面

α ,β内,则“直线a和直线b相交”是“*面α和*面β相交”

的( )

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

解析 由题意知a?α,b?β,若a,b相交,则a,b有公共点,

从而α,β有公共点,可得出α,β相交;反之,若α,β相交,

则a,b的位置关系可能为*行、相交或异面.

因此“直线a和直线b相交”是“*面α和*面β相交”的充分

不必要条件.

答案 A

考点三 充分条件、必要条件的应用(典例迁移) 【例3】 (经典母题)已知P={x|x2-8x-20≤0},非空集合S={x|1
-m≤x≤1+m}.若x∈P是x∈S的必要条件,求m的取值范围. 解 由 x2-8x-20≤0,得-2≤x≤10, ∴P={x|-2≤x≤10}. ∵x∈P 是 x∈S 的必要条件,则 S?P. ∴?????11- +mm≥ ≤- 102,,解得 m≤3. 又∵S 为非空集合,∴1-m≤1+m,解得 m≥0. 综上,可知 0≤m≤3 时,x∈P 是 x∈S 的必要条件.

【迁移探究1】 本例条件不变,问是否存在实数m,使x∈P 是x∈S的充要条件?
解 由例题知 P={x|-2≤x≤10}. 若 x∈P 是 x∈S 的充要条件,则 P=S, ∴?????11-+mm==-102,,∴?????mm==39,,这样的 m 不存在.

【迁移探究2】 本例条件不变,若綈P是綈S的必要不充分 条件,求实数m的取值范围. 解 由例题知 P={x|-2≤x≤10}.
∵綈 P 是綈 S 的必要不充分条件,∴P 是 S 的充分不必要条件,
∴P?S 且 S P. ∴[-2,10] [1-m,1+m]. ∴?????11-+mm≤>1-0 2,或?????11- +mm<≥-102,, ∴m≥9,则 m 的取值范围是[9,+∞).

规律方法 充分条件、必要条件的应用,一般表现在参 数问题的求解上.解题时需注意: (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的 关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式 (或不等式组)求解; (2)要注意区间端点值的检验.

【训练 3】 ax2+2x+1=0 只有负实根的充要条件是________.

解析 当 a=0 时,原方程为一元一次方程 2x+1=0,有一个负实

根 x=-12.当 a≠0 时,原方程为一元二次方程,

?Δ=4-4a≥0,

?

又 ax2+2x+1=0 只有负实根,所以有??-2a<0,

即 0<a≤1.

???1a>0,

综上,方程只有负根的充要条件是 0≤a≤1.

答案 0≤a≤1

[思想方法] 1.写出一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是分
清原命题的条件和结论,然后按定义来写;在判断原命 题、逆命题、否命题以及逆否命题的真假时,要借助原 命题与其逆否命题同真或同假,逆命题与否命题同真或 同假来判定.

2.充要条件的几种判断方法 (1)定义法:直接判断若p则q、若q则p的真假. (2)等价法:即利用A?B与綈B?綈A;B?A与綈A?綈B; A?B与綈B?綈A的等价关系,对于条件或结论是否定形式 的命题,一般运用等价法. (3)利用集合间的包含关系判断:设 A={x|p(x)},B={x|q(x)};若 A?B,则 p 是 q 的充分条件或 q 是 p 的必要条件;若 A B,则 p 是 q 的充分不必要条件,若 A=B,则 p 是 q 的充要条件.

[易错防范] 1.当一个命题有大前提而要写出其他三种命题时,必须保
留大前提. 2.判断命题的真假及写四种命题时,一定要明确命题的结
构,可以先把命题改写成“若p,则q”的形式. 3.判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向,正确
理解“p的一个充分而不必要条件是q”等语言.


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