2019华东师大初中数学八年级上册全等三角形判定一(SAS、ASA、AAS)(提高)知识讲解

发布时间:2021-09-21 03:51:04

全等三角形判定一(SAS,ASA,AAS)(提高)
【学*目标】 1.理解和掌握全等三角形判定方法 1——“边角边”,判定方法 2——“角边角”,判定方法
3——“角角边”;能运用它们判定两个三角形全等. 2.能把证明角相等或线段相等的问题,转化为证明它们所在的两个三角形全等. 【要点梳理】 要点一、全等三角形判定 1——“边角边” 1. 全等三角形判定 1——“边角边”
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(可以简写成“边角边”或“SAS”).
要点诠释:如图,如果 AB = A' B ' ,∠A=∠ A' ,AC = A'C ',则△ABC≌△ A' B'C ' .
注意:这里的角,指的是两组对应边的夹角. 2. 有两边和其中一边的对角对应相等,两个三角形不一定全等.
如图,△ABC 与△ABD 中,AB=AB,AC=AD,∠B=∠B,但△ABC 与△ABD 不完全重合, 故不全等,也就是有两边和其中一边的对角对应相等,两个三角形不一定全等.
要点二、全等三角形判定 2——“角边角” 全等三角形判定 2——“角边角”
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“角边角”或“ASA”).
要点诠释:如图,如果∠A=∠ A' ,AB= A' B ' ,∠B=∠ B ' ,则△ABC≌△ A' B'C ' .
要点三、全等三角形判定 3——“角角边” 1.全等三角形判定 3——“角角边”

两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“角角边”或“AAS”) 要点诠释:由三角形的内角和等于 180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就 可由“角边角”判定两个三角形全等,也就是说,用角边角条件可以证明角角边条件,后者 是前者的推论. 2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等. 如图,在△ABC 和△ADE 中,如果 DE∥BC,那么∠ADE=∠B,∠AED=∠C,又∠A=∠A, 但△ABC 和△ADE 不全等.这说明,三个角对应相等的两个三角形不一定全等.
要点四、如何选择三角形证全等 1.可以从求证出发,看求证的线段或角(用等量代换后的线段、角)在哪两个可能全等 的三角形中,可以证这两个三角形全等; 2.可以从已知出发,看已知条件确定证哪两个三角形全等; 3.由条件和结论一起出发,看它们一同确定哪两个三角形全等,然后证它们全等; 4.如果以上方法都行不通,就添加辅助线,构造全等三角形.
【典型例题】 类型一、全等三角形的判定 1——“边角边”
1、如图,AD 是△ABC 的中线,求证:AB+AC>2AD.
【思路点拨】延长 AD 到点 E,使 AD=DE,连接 CE.通过证全等将 AB 转化到△CEA 中,同时 也构造出了 2AD.利用三角形两边之和大于第三边解决问题. 【答案与解析】 证明:如图,延长 AD 到点 E,使 AD=DE,连接 CE.
在△ABD 和△ECD 中,AD=DE,∠ADB=∠EDC,BD=CD. ∴△ABD≌△ECD. ∴AB=CE. ∵AC+CE>AE, ∴AC+AB>AE=2AD.即 AC+AB>2AD.

【总结升华】证明边的大小关系主要有两个思路:(1)两点之间线段最短;(2)三角形的两 边之和大于第三边.要证明 AB+AC>2AD,如果归到一个三角形中,边的大小关系就是显然 的,因此需要转移线段,构造全等三角形是转化线段的重要手段.可利用旋转变换,把△ABD 绕点 D 逆时针旋转 180°得到△CED,也就把 AB 转化到△CEA 中,同时也构造出了 2AD.若 题目中有中线,倍长中线,利用旋转变换构造全等三角形是一种重要方法.
2、已知,如图:在△ABC 中,∠B=2∠C,AD⊥BC, 求证:AB=CD-BD.

【思路点拨】在 DC 上取一点 E,使 BD=DE,则△ABD≌△AED,所以 AB=AE,只要再证出 EC

=AE 即可.

【答案与解析】

证明:在 DC 上取一点 E,使 BD=DE

A

∵ AD⊥BC,∴∠ADB=∠ADE

在△ABD 和△AED 中, BD=DE,AD=AD.

∴△ABD≌△AED(SAS). ∴AB=AE,∠B=∠AED. 又∵∠B=2∠C=∠AED=∠C+∠EAC.

B

DE

C

∴∠C=∠EAC.∴AE=EC.

∴AB=AE=EC=CD—DE=CD—BD.

【总结升华】此题采用截长或补短方法.上升到解题思想,就是利用翻折变换,构造的全等

三角形,把条件集中在基本图形里面,从而使问题加以解决.如图,要证明 AB=CD-BD,

把 CD-BD 转化为一条线段,可利用翻折变换,把△ABD 沿 AD 翻折,使线段 BD 运动到 DC 上,

从而构造出 CD-BD,并且也把∠B 转化为∠AEB,从而拉*了与∠C 的关系.

举一反三:

【变式】已知,如图,在四边形 ABCD 中,AC *分∠BAD,CE⊥AB 于 E,并且 AE= 1 (AB+ 2
AD),求证:∠B+∠D=180°.

【答案】 证明:在线段 AE 上,截取 EF=EB,连接 FC,
∵CE⊥AB,

∴∠CEB=∠CEF=90° 在△CBE 和△CFE 中,

?EB ? EF ???CEB ? ?CEF ??EC =EC
∴△CBE 和△CFE(SAS) ∴∠B=∠CFE
∵AE= 1 (AB+AD),∴2AE= AB+AD 2
∴AD=2AE-AB ∵AE=AF+EF, ∴AD=2(AF+EF)-AB=2AF+2EF-AB=AF+AF+EF+EB-AB=AF+AB-AB, 即 AD=AF 在△AFC 和△ADC 中

? AF ? AD

???FAC ? ?DAC(角*分线定义)

? ?

AC

?

AC

∴△AFC≌△ADC(SAS)

∴∠AFC=∠D

∵∠AFC+∠CFE=180°,∠B=∠CFE.

∴∠AFC+∠B=180°,∠B+∠D=180°.

类型二、全等三角形的判定 2——“角边角”

3、如图,G 是线段 AB 上一点,AC 和 DG 相交于点 E.请先作出∠ABC 的*分线 BF,交 AC 于点 F;然后证明:当 AD∥BC,AD=BC,∠ABC=2∠ADG 时,DE=BF.

【思路点拨】通过已知条件证明∠DAC=∠C,∠CBF=∠ADG,则可证△DAE≌△BCF 【答案与解析】 证明: ∵AD∥BC,
∴∠DAC=∠C ∵BF *分∠ABC ∴∠ABC=2∠CBF ∵∠ABC=2∠ADG ∴∠CBF=∠ADG 在△DAE 与△BCF 中

??ADG ? ?CBF

? ?

AD

?

BC

???DAC ? ?C

∴△DAE≌△BCF(ASA) ∴DE=BF 【总结升华】利用全等三角形证明线段(角)相等的一般方法和步骤如下:(1)找到以待证角 (线段)为内角(边)的两个三角形;(2)证明这两个三角形全等;(3)由全等三角形的性质得出 所要证的角(线段)相等. 举一反三:

【高清课堂:379110 全等三角形判定二,例 7】

【变式】已知:如图,在△MPN 中,H 是高 MQ 和 NR 的交点,且 MQ=NQ.

求证:HN=PM.

【答案】 证明:∵MQ 和 NR 是△MPN 的高,
∴∠MQN=∠MRN=90°, 又∵∠1+∠3=∠2+∠4=90°,∠3=∠4 ∴∠1=∠2 在△MPQ 和△NHQ 中,
??1 ? ?2 ??MQ ? NQ ???MQP ? ?NQH
∴△MPQ≌△NHQ(ASA) ∴PM=HN 类型三、全等三角形的判定 3——“角角边”
4、(2016?黄陂区模拟)如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,AC=BC,过 C 点作直线 l, 点 D,E 在直线 l 上,连接 AD,BE,∠ADC=∠CEB=90°.求证:△ADC≌△CEB.
【思路点拨】先证明∠DAC=∠ECB,根据 AAS 证△ADC≌△CEB.

【答案与解析】 证明:∵∠DAC+∠DCA=∠ECB+∠DCA=90°,
∴∠DAC=∠ECB, 在△ADC 和△CEB 中,

∴△ADC≌△CEB(AAS). 【总结升华】本题考查三角形全等的判定方法,注意:AAA、SSA 不能判定两个三角形全等, 判定两个三角形全等时,必须有边的参与,若有两边一角对应相等时,角必须是两边的夹角. 举一反三: 【变式】已知:如图,等腰三角形 ABC 中,AC=BC,∠ACB=90°,直线 l 经过点 C(点 A、B 都在直线 l 的同侧),AD⊥l,BE⊥l,垂足分别为 D、E. 求证:△ADC≌△CEB.
【答案】 证明:∵∠DAC+∠DCA=∠ECB+∠DCA=90°,
∴∠DAC=∠ECB, 在△ADC 和△CEB 中,

∴△ADC≌△CEB(AAS). 5、*面内有一等腰直角三角板(∠ACB=90°)和一直线 MN.过点 C 作 CE⊥MN 于点 E, 过点 B 作 BF⊥MN 于点 F.当点 E 与点 A 重合时(如图 1),易证:AF+BF=2CE.当三角板绕 点 A 顺时针旋转至图 2 的位置时,上述结论是否仍然成立?若成立,请给予证明;若不成立, 线段 AF、BF、CE 之间又有怎样的数量关系,请直接写出你的猜想,不需证明.
【思路点拨】过 B 作 BH⊥CE 与点 H,易证△ACE≌△CBH,根据全等三角形的对应边相等, 即可证得 AF+BF=2CE. 【答案与解析】 解:图 2,AF+BF=2CE 仍成立,

证明:过 B 作 BH⊥CE 于点 H, ∵∠CBH+∠BCH=∠ACE+∠BCH=90° ∴∠CBH=∠ACE 在△ACE 与△CBH 中,
??ACH ? ?CBH ???AEC ? ?CHB ? 90? ?? AC ? BC
∴△ACE≌△CBH.(AAS) ∴CH=AE,BF=HE,CE=EF, ∴AF+BF=AE+EF+BF=CH+EF+HE=CE+EF=2EC.

【总结升华】正确作出垂线,构造全等三角形是解决本题的关键. 举一反三:

【变式】已知 Rt△ABC 中,AC=BC,∠C=90°,D 为 AB 边的中点,∠EDF=90°,∠EDF

绕 D 点旋转,它的两边分别交 AC、CB 于 E、F.当∠EDF 绕 D 点旋转到 DE⊥AC 于 E 时(如图

1),易证 S△DEF

? S△CEF

?

1 2 S△ABC

;当∠EDF 绕 D

点旋转到

DE 和 AC 不垂直时,在图

2



况下,上述结论是否成立?若成立,请给予证明;若不成立,请写出你的猜想,不需证明.

【答案】
解:图 2 成立;
证明图 2:
过点 D 作 DM ? AC,DN ? BC 则 ?DME ? ?DNF ? ?MDN ? 90°
在△AMD 和△DNB 中,

A

D M

E

C

B NF

图2

??AMD=?DNB=90? ???A ? ?B ?? AD ? BD
∴△AMD≌△DNB(AAS) ∴DM=DN ∵∠MDE+∠EDN=∠NDF+∠EDN=90°, ∴∠ MDE=∠NDF 在△DME 与△DNF 中,
??EMD ? ?FDN ? 90? ??DM ? DN ???MDE ? ?NDF
∴△DME≌△DNF(ASA)
∴ S△DME ? S△DNF

S ∴ 四边形DMCN =S四边形DECF =S△DEF ? S△CEF.

可知

S四边形DMCN

=

1 2

S△ABC



∴ S△DEF

? S△CEF

?

1 2

S△ABC

类型四、全等三角形判定的实际应用

6、小强为了测量一幢高楼高 AB,在旗杆 CD 与楼之间选定一点 P.测得旗杆顶 C 视线 PC 与地面夹角∠DPC=36°,测楼顶 A 视线 PA 与地面夹角∠APB=54°,量得 P 到楼底距离 PB 与旗杆高度相等,等于 10 米,量得旗杆与楼之间距离为 DB=36 米,小强计算出了楼高,楼 高 AB 是多少米?

【思路点拨】根据题意可得△CPD≌△PAB(ASA),进而利用 AB=DP=DB﹣PB 求出即可. 【答案与解析】 解:∵∠CPD=36°,∠APB=54°,∠CDP=∠ABP=90°,
∴∠DCP=∠APB=54°, 在△CPD 和△PAB 中





∴△CPD≌△PAB(ASA),

∴DP=AB, ∵DB=36,PB=10, ∴AB=36﹣10=26(m), 答:楼高 AB 是 26 米. 【总结升华】此题主要考查了全等三角形的应用,根据题意得出△CPD≌△PAB 是解题关键.


相关文档

  • 【精编】华东师大初中数学八年级上册全等三角形判定一(SAS、ASA、AAS)(提高)知识讲解.doc
  • 华东师大初中数学八年级上册全等三角形判定一(SAS、ASA、AAS)(提高)知识讲解【精编】.doc
  • 2019华东师大初中数学八年级上册全等三角形判定一(SAS、ASA、AAS)(基础)知识讲解
  • 华东师大初中数学八年级上册全等三角形判定一(SAS、ASA、AAS)(提高)知识讲解
  • 华东师大初中数学八年级上册全等三角形判定一(SAS、ASA、AAS)(提高)知识讲解[精选]
  • (精选)华东师大初中数学八年级上册全等三角形判定一(SAS、ASA、AAS)(提高)知识讲解
  • 华东师大初中数学八年级上册全等三角形判定一(SAS、ASA、AAS)(提高)知识讲解[精品]
  • [精品]华东师大初中数学八年级上册全等三角形判定一(SAS、ASA、AAS)(提高)知识讲解
  • 【精编版】华东师大初中数学八年级上册全等三角形判定一(SAS、ASA、AAS)(基础)知识讲解
  • 【精编版】华东师大初中数学八年级上册全等三角形判定一(SAS、ASA、AAS)(提高)知识讲解
  • 猜你喜欢

    电脑版